اصل فرما

اصل فرما یکی از قوانین اساسی فیزیک نور است و بساری از قوانین اپتیک از آن قابل استخراج است. قوانین بازتابش و شکست و در واقع شیوه کلی انتشار نور را می‌توان از دیدگاه کاملا متفاوت و شگفت دیگری به نام اصل فرما نگریست. ایده‌هایی که در اینجا مطرح خواهد شد تأثیر بسیار زیادی در گسترش اندیشه فیزیکی و حتی فراسوی نور شناخت کلاسیکی داشته است. این اصل بسیاری از پدیده‌های مشاهده شده در طبیعت را به زیبایی توضیح می‌دهد.

تاریخچه

هروی اسکندرانی که در سالهای بین 150 (ق.م) و 250 (م) زندگی می کرد، اولین کسی بود که آنچه را تا کنون اصل و روش نامیده شده است، بنیان گذاشت. او در فرمول بندی خود ادعا کرد که مسیری که نور عملا از نقطه‌ای مانند s به نقطه‌ای مانند p ، از راه بازتابش روی سطح می‌پیماید، کوتاهترین راه ممکن است. بیش از 15 قرن مشاهدات کنجکاوانه "هروی" همچنان بی‌رقیب ماند، تا اینکه در سال 1036 (1657) فرما اصل کمترین زمان مشهور خود را اعلام کرد.

اصل فرما چیست؟

پرتو نور در عبور از یک نقطه به نقطه دیگر چنان مسیر را دنبال می‌کند که زمان لازم برای طی آن ، در مقایسه با مسیرهای مجاور ، یا مینیمم باشد و یا ماکزیمم و یا تغییر نکند (یعنی مانا باشد) و یا به عبارت دیگر باریکه نوری یک سطح مشترک را می‌پیماید، راه راست و کوتاهترین راهی است که در کمترین زمان پیموده می‌شود.

اصل فرما و قوانین بازتابش

قوانین بازتابش را می‌توان به آسانی از اصل فرما بدست آورد. اگر دو نقطه ثابت A و B را در دو محیط متفاوت در نظر بگیرید که خط APB آنها را به هم وصل می‌کند (فرض می‌کنیم که خط APB در صفحه شکل است). طول کل این خط (l) برابر است با:





که x جای نقطه p (یعنی محل برخورد پرتو با آینه) را نشان می‌دهد. بنا بر اصل فرما ، نقطه P باید در جایی قرار بگیرد که مدت سیر نور مینیمم باشد (و یا ماکزیمم باشد و یا تغییر نکند) در هر دو صورت ، این امر مستلزم آن است که dl/dx = 0 باشد. اگر از l نسبت به x مشتق بگیریم بدست می‌آوریم:





با توجه به شکل ، مشاهده می‌کنیم که می‌شود این معادله را بصورت زیر نوشت:

(l² = (a² + x²) + (b² + (d - x)²

(x (a² + x²) + (d - x) (b² + (d - x)²

Sinө₁ = Sinө₁

یا ө که همان قانون بازتابش است. ₁ = ө₁

اصل فرما و قوانین شکست نور

برای اثبات قانون شکست نور از اصل فرما ، دو نقطه A و B را در دو محیط متفاوت در نظر بگیرید، که خط APB آنها را به هم وصل می‌کند. مدت سیر نور از این رابطه بدست می‌آید:

t = l₁/v₁ + l₂/v₂

با توجه به این که n = c/v ، می‌توان نوشت:

t = (n₁l₁ + n₂l₂)/c = l/c

راه نوری چیست؟

به کمیت n₁l₁ + n₂l₂ = l طول راه نوری پرتو می‌گویند. طول راه نوری در هر محیط برحسب طول موج در آن محیط برابر با طول همان تعداد طول موج در خلا است. نباید طول راه نوری را با طول راه هندسی که برابر با l₁ + l₂ است، اشتباه کرد. اصل فرما ایجاب می‌ند که l مینیمم باشد (یا ماکزیمم باشد یا تغییر نکند) که این هم به نوبت خود مستلزم آن است که x طوری انتخاب شود که dl/dx = 0 باشد.

که بعد از حل اگر از آن نسبت به x مشتق بگیریم:


dl/dx = n₁ (1/2)(a² + x²) - 1/2 (2x) + n₂ (1/2) (b² + (d - x)²) - 1/2 (2) (d-x) (-1) = 0
این معادله را می توان به صورت زیر نوشت:


²(n₁x/(a² + x²)² = n₂ (d - x)/(b² + (d - x)²
که با توجه به شکل فوق به صورت مقابل در می‌آید: n₁Sinө₁ = n₂Sinө₂ که همان قانون شکست است.

نگاهی دوباره به اصل فرما

حال می خواهیم با نگاهی درباره به اصل فرما، آن را برای یک سیستم لایه لایه توضیح می دهیم.
فرض کنید مطابق شکل زیر، ماده ای لایه لایه مرکب از m لایه با ضریب شکستهای مختلف داشته باشیم. در این صورت زمان عبور از s به p برابر خواهد بود با:

t = s₁/v₁ + s₂/v₂ + … + s_m/v_m

یا:

t = ∑m_i = ∑s_i/v_i

که در آن ، s_i و v_i به ترتیب طول مسیر و سرعت متناظر با i امین لایه‌اند. بنابراین:

t = 1/c∑m_i = ∑n_is_i

که در آن عبارت مجموع را طول راه نوری ، که توسط پرتو نور پیموده شده است، می‌نامند. این کمیت با طول سیر فضایی فرق دارد. پس c/طول راه نوری = t . می توانیم اصل فرما را دوباره چنین بیان کنیم: نور در هنگام گذر از نقطه s به نقطه p ، مسیری را می‌پیماید که کوتاهترین راه نوری است.

اصل فرما و حرکت پرتوهای خورشید در جو

همانطور که می دانیم جو از تعداد زیادی لایه، با ضریب شکستهای مختلف تشکیل شده است. بنابراین وقتی که پرتوهای نور خورشید از میان جو ناهمگن زمین عبور می کنند، خم می شوند تا در هنگام گذشتن از نواحی پایین تر و چگالتر، هر چه زودتر خم شوند و در نتیجه طول راه نوری را کمینه سازند. به همین جهت می توان خورشید را حتی بعد از این که از زیر افق گذشته بادید شد.

اصل فرما و پدیده سراب

هنگامی که تحت زاویه‌ای خراشان به جاده‌ای نگریسته شود، به نظر می‌رسد که جاده را لایه‌ای از آب پوشانده است. هوای نزدیک به سطح جاده گرمتر و کم چگالتر از هوایی است که بالاتر از آن قرار دارد. پرتوها بسوی بالا خم شده و از کوتاهترین راه نوری می‌گذرند و با انجام این کار ، چنان به نظر می‌رسد که گویی از سطحی آینه‌ای بازتابیده‌اند. این پدیده را بویژه در بزرگراههای جدید و طویل می‌توان دید.